よく使う三角関数の基本公式をまとめました。必ずすべて覚えましょう。
三角関数の相互関係
$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$
$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$
$$1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}$$
$$1+frac{1}{tan^2\theta}=\frac{1}{\sin^2\theta}$$
余角・補角・負角の公式
余角の公式：
$$\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$$
$$\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$$
$$\tan(90^\circ-\theta)=frac{1}{\tan\theta}$$
補角の公式：
$$\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$$
$$\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$$
$$\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta$$
負角の公式：
$$\sin(-\theta)=-\sin\theta$$
$$\cos(-\theta)=\cos\theta$$
$$\tan(-\theta)=-\tan\theta$$
これらの公式は覚えるというよりかは導出できる様にした方がいいです。
三角関数の加法定理
$$\sin(x+y)=\sin x\cos y + \cos x\sin y$$
$$\sin(x-y)=\sin x\cos y – \cos x\sin y$$
$$\cos(x+y)=\cos x\cos y – \sin x\sin y$$
$$\cos(x-y)=\cos x\cos y + \sin x\sin y$$
$$\tan(x+y)=\frac{\tan x + \tan y}{1-\tan x \tan y}$$
$$\tan(x-y)=\frac{\tan x – \tan y}{1+\tan x \tan y}$$
倍角，三倍角，半角の公式
二倍角の公式：
$$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$
$$\cos 2x = 2\cos^2 x-1 = 1-2\sin^2 x$$
$$\tan 2x = \frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$$
三倍角の公式：
$$\sin 3x = -4\sin^3x+3\sin x$$
$$\cos 3x= 4\cos^3x-3\cos x$$
半角の公式：
$$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$$
$$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$$
$$\tan^2 x = \frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$$
三角関数の合成公式
\(a\neq 0,~b\neq 0\)のとき
$$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$$
ただし、
$$\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},~\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
三角関数の和積，積和公式
和積の公式：
$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$
$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$
$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$
$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$
積和の公式：
$$\sin x\cos y = \frac{1}{2}\{\sin(x+y)+\sin(x-y)\}$$
$$\sin x\sin y = \frac{1}{2}\{\cos(x-y)-\cos(x+y)\}$$
$$\cos x\cos y = \frac{1}{2}\{\cos(x+y)+\cos(x-y)\}$$