行列の転置、転置行列について解説します。
転置行列の定義
\(A\)を\(m\times n\)行列とする。\(A\)のすべての行に対して、第一行を第一列に、第二行を第二列に、…という規則に従って並べ替えることを転置と呼び、並べ替えてできた新しい行列を\(A^T\)と表し\(A\)の転置行列と呼ぶ。（\(T\)はTransposedの頭文字。また、教科書によっては\({}^t\! A\)と表記されることもあるが、同じものである。）
例えば
$$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$$
に対して
$$A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}$$
転置行列と行列の積の関係
転置行列と行列の積については一般にこのような関係式が成り立つ。
\(l\times m\)行列\(A\)と\(m\times n\)行列\(B\)との積\(AB\)に対して
$$(AB)^T=B^TA^T$$
証明
$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{l1}&\cdots&a_{lm}\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots&b_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&\cdots&b_{mn}\end{bmatrix}$$
に対して
$$AB=\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{l1}&\cdots&a_{lm}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots&b_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&\cdots&b_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1m}b_{m1}&\cdots&a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1m}b_{mn}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{l1}b_{11}+\cdots+a_{lm}b_{m1}&\cdots&a_{l1}b_{1n}+\cdots+a_{lm}b_{mn}\end{bmatrix}$$
$$∴(AB)^T=\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1m}b_{m1}&\cdots&a_{l1}b_{11}+\cdots+a_{lm}b_{m1}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1m}b_{mn}&\cdots&a_{l1}b_{1n}+\cdots+a_{lm}b_{mn}\end{bmatrix}$$
一方
$$A^T=\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{l1}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1m}&\cdots&a_{lm}\end{bmatrix}, B^T=\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots&b_{m1}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{1n}&\cdots&b_{mn}\end{bmatrix}$$
に対して
$$B^TA^T=\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots&b_{m1}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{1n}&\cdots&b_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{l1}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1m}&\cdots&a_{lm}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1m}b_{m1}&\cdots&a_{l1}b_{11}+\cdots+a_{lm}b_{m1}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1m}b_{mn}&\cdots&a_{l1}b_{1n}+\cdots+a_{lm}b_{mn}\end{bmatrix}$$
$$∴(AB)^T=B^TA^T$$
ここで、各行列が左右辺で逆になっていることに注意しましょう。
参考文献
- 高木悟・長谷川研二・熊ノ郷直人・菊田伸・森澤貴之.2023.『理工系のための線形代数』.培風館
