行列の特徴的な演算の一つ、積について解説しました。
定義
まず、行列の積の定義をみてみましょう。
\(l\times m\)行列\(A\)と\(m\times n\)行列\(B\)に対して
行列\(C=AB\)の成分\(c_{ij}\)は次のようになる。
$$c_{ij}=\sum_{k=1}^m=a_{ik}b_{kj}$$
この定義を視覚的にわかりやすくすると
$$A\cdot B=\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{l1}&\cdots&a_{lm}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_{11}&\cdots&b_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&\cdots&b_{mn}\end{bmatrix}$$
$$=\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1m}b_{m1}&\cdots&a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1m}b_{mn}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{l1}b_{11}+\cdots+a_{lm}b_{m1}&\cdots&a_{l1}b_{1n}+\cdots+a_{lm}b_{mn}\end{bmatrix}$$
これは、結果となる行列の\(i\)行、\(j\)列の成分はそれぞれ行列\(A\)の\(i\)行のそれぞれの成分と\(B\)の\(j\)列のそれぞれの成分の積の総和となる。つまり、結果となる行列の\(i\)行、\(j\)列の成分は行列\(A\)の\(i\)行に位置する行ベクトルと\(B\)の\(j\)列に位置する列ベクトルの内積とみなすことができます。
例
$$A=\begin{bmatrix}2&4&-1\\3&3&5\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}-3&1\\2&6\\-5&4\end{bmatrix}$$に対して
$$AB=\begin{bmatrix}2&4&-1\\3&3&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3&1\\2&6\\-5&4\end{bmatrix}$$
$$=\begin{bmatrix}2\times(-3)&4\times 2&-1\times(-5)\\3\times 1&3\times 6&5\times 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-6&8&5\\3&18&20\end{bmatrix}$$
ここで、行列\(A\)の列の数と行列\(B\)の行の数は一致しなければならず、結果となる行列の行の数は\(A\)の行の数、列の数は\(B\)の列の数と一致することに留意する。
演算規則
行列の積は、従来学んだ実数同士の積とは演算規則が異なる。
- 一般に\(AB\neq BA\)
- \((AB)C=A(BC)\)
- \(A(B+C)=AB+BC\)
これからわかるように、行列の積は順序を変えること以外は実数と同様の演算規則に従うことがわかる。また、「一般に」と書かれる理由は\(AB=BA\)がたまたま成立する場合もあるからです。
参考文献
- 高木悟・長谷川研二・熊ノ郷直人・菊田伸・森澤貴之.2023.『理工系のための線形代数』.培風館
